Родилась будущая актриса в 1928 году в Киеве. Ее отец был военным врачом-инфекционистом. Мать же работала поваром в больнице. В дальнейшем у Быстрицкой появилась младшая сестра, которую назвали Соней.
Незадолго до начала Великой Отечественной главу семейства перевели в Нежин. Конечно, жена и дочки отправились за ним. После начала 6оевых действий Элине пришлось отправиться в Астрахань – в эвакуацию. Там она пошла на курсы медсестер. В результате ее послали служить в передвижной госпиталь. Вместе с ним она поехала в Донецк (тогда он назывался Сталино).